Prime number theorem
\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln{x}}{x}=1
이 된다는 정리다. 여기서
\pi(x)는
소수 계량 함수이다. 이 정리는 소수들의 분포를 잘 알려준다.
목차
1. 오차항의 표현
2. 동치인 표현들
2.1. 약간의 식 변형
2.2. 체비셰프 함수
2.3. 뫼비우스 뮤 함수
2.4. 메르텐스 함수
3. 참고 문헌1. 오차항의 표현 ✎
x가 무한대로 가면 다음이 성립한다.
\pi(x)=\frac{x}{\ln{x}}+O\left(\frac{x}{(\ln{x})^2}\right)
하지만
\left|\pi(x)-\frac{x}{\ln{x}}\right|\gg \frac{x}{(\ln{x})^2}
이기도 해서 별로 좋지 못하다 할 수 있다. 하지만
\Lambda(n):=\begin{cases}\ln{p} & \text{if}\;n=p^k \text{ for some positive integer}\;k \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}
라고 정의하고
\psi(x):=\sum_{n\le x}\Lambda(n)
이라고 한다면 임의의
c>0에 대해서
\psi(x)=x+O\left(xe^{-c\sqrt{\ln{x}}}\right)
이다. 나아가 임의의
\varepsilon>0에 대해서
\psi(x)=x+O_{\varepsilon}(x^{\frac{1}{2}+\epsilon})
이라는 것은
리만 가설과 동치가 된다.
2. 동치인 표현들 ✎
\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)\log \pi(x)}{x}=1\lim_{n \to \infty}\frac{p_n}{n \log n}=1
\lim_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x}=1\lim_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x}=1
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}=0
\lim_{x \to \infty} \frac{M(x)}{x}=0
3. 참고 문헌 ✎
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3.
